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dc.contributor.advisorGomes, Renato Teixeira-
dc.contributor.authorGomes, Heloisa Cardoso Barbosa-
dc.date.accessioned2024-07-02T11:23:04Z-
dc.date.available2024-07-02T11:23:04Z-
dc.date.issued2024-02-29-
dc.identifier.citationGOMES, Heloisa Cardoso Barbosa. O Teorema Egregium. 2024. 70 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2024.pt_BR
dc.identifier.urihttps://repository.ufrpe.br/handle/123456789/5848-
dc.descriptionDurante o desenvolvimento da geometria diferencial, por volta do século XVII, um antigo problema ocupava a mente dos matemáticos da época que era determinar se o chamado 5º postulado de Euclides era de fato um postulado ou um teorema. Tal postulado, que teve uma versão equivalente publicada em 1795, por John Playfair (1748–1819), diz que: por um ponto fora de uma reta dada, pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada". Houveram muitas tentativas de "provar"o quinto postulado, sendo que todas estas fracassaram. A resposta a esta questão foi dada anos mais tarde por Gauss, Lobachevski e Bolyai. Em sua obra Disquisitiones generales circa superficies curvas, Gauss mostra que a curvatura K(p) de uma superfície no ponto p, calculada inicialmente através do determinante da diferencial de dNp que depende das chamadas primeira e segunda formas fundamentais, depende na verdade apenas dos coeficientes da primeira forma fundamental e suas derivadas, e pode ser calculada através de uma fórmula que leva o seu nome, a chamada fórmula de Gauss. Como consequência desta fórmula, temos o chamado Teorema Egregium que afirma que a curvatura Gaussiana de uma superfície é um invariante intrínseco, isto é, não depende do ambiente a qual a superfície está e, consequentemente, é invariante por isometrias locais. Tal descoberta está intimamente relacionada com geometrias não euclidianas, visto que a geometria de uma superfície com curvatura não nula é não euclidiana. Uma consequência desse fato é que o 5º postulado é de fato um postulado e não um teorema. Neste trabalho, faremos um estudo dos conceitos necessários para a compreensão do teorema Egregium de Gauss e sua demonstração, além de algumas aplicações deste importante resultado.pt_BR
dc.description.abstractDuring the development of differential geometry around the 17th century, an old problem occupied the minds of mathematicians at the time, which was determining whether the so-called 5th postulate of Euclid was in fact a postulate or a theorem. This postulate, which had an equivalent version published in 1795 by John Playfair (1748–1819), says that: through a point outside a given straight line it is possible to draw a single straight line parallel to the given straight line". There were many attempts to "prove"the fifth postulate, all of which failed. The answer to this question was given years later by Gauss, Lobachevski and Bolyai. In their work Disquisitiones generales circa superficies curves, Gauss shows that the curvature K(p) of a surface at the point p, initially calculated through the determinant of the differential of dNp which depends on the socalled first and second fundamental forms, actually depends only on the coefficients of the first fundamental form and their derivatives, and can be calculated using a formula that bears his name, the so-called Gauss formula. As a consequence of this formula we have the so-called Egregium Theorem which states that the Gaussian curvature of a surface is an invariant intrinsic, that is, it does not depend on the environment the surface is in and consequently, it is invariant due to local isometries. This discovery is closely related to non-Euclidean geometries, since the geometry of a surface with non-zero curvature is non-Euclidean. A consequence of this fact is that the 5th postulate is in fact a postulate and not a theorem. In this work, we will study the concepts necessary to understand Gauss’s Egregium theorem and its demonstration, as well as some applications of this important result.pt_BR
dc.format.extent70 f.pt_BR
dc.language.isoporpt_BR
dc.rightsopenAccesspt_BR
dc.rights.urihttps://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt_BRpt_BR
dc.subjectGeometria diferencialpt_BR
dc.subjectIsometria (Matemática)pt_BR
dc.subjectCurvaturapt_BR
dc.subjectSuperfícies (Matemática)pt_BR
dc.titleO Teorema Egregiumpt_BR
dc.typebachelorThesispt_BR
dc.rights.licenseAtribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0)pt_BR
dc.contributor.authorLatteshttp://lattes.cnpq.br/8017333927762482pt_BR
dc.contributor.advisorLatteshttp://lattes.cnpq.br/0570606157057337pt_BR
dc.degree.levelGraduacaopt_BR
dc.publisher.countryBrasilpt_BR
dc.degree.localRecifept_BR
dc.degree.grantorUniversidade Federal Rural de Pernambucopt_BR
dc.degree.graduationLicenciatura em Matemáticapt_BR
dc.degree.departamentDepartamento de Matemáticapt_BR
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