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Título: Modelos matemáticos epidemiológicos do tipo SIS e SIR e o segundo método de Lyapunov
Autor: Santos, Letícia Maria Menezes dos
Endereco Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/9115322351374062
Orientador: Didier, Maria Ângela Caldas
Endereco Lattes do orientador : http://lattes.cnpq.br/9721552594807972
Co-orientador : Freitas, Lorena Brizza Soares
Endereço Lattes do Co-orientador : http://lattes.cnpq.br/2302580820419163
Palavras-chave: Modelos matemáticos;Equações diferenciais;Funções de Lyapunov;Epidemiologia;COVID-19, Pandemia de
Data do documento: 5-Mai-2023
Citação: SANTOS, Letícia Maria Menezes. Modelos matemáticos epidemiológicos do tipo SIS e SIR e o segundo método de Lyapunov. 2023. 104 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2023.
Abstract: This work aims to study epidemiological mathematical models of the SIS (Susceptible- Infected-Susceptible) and SIR (Susceptible-Infected-Removed) types, focusing on the stability of the equilibrium points of the differential equation systems that describe them. Stability analysis will be presented in two ways, using the eigenvalue characteristics and/or the trace of the system matrix and using the Second Lyapunov Method. We also address the stability of variations of these models, considering non-constant total population and vital dynamics (births and deaths), or dividing the population of infected individuals into exposed individuals (infected who do not yet transmit the disease) and infectious individuals (infected who transmit the disease). We define the Basic Reproduction Value, and for some models, we present ways to obtain it from the involved rates and initial conditions of the system. A calculation that determines the maximum number of infected individuals reached was performed for the SIR model with constant total population and without vital dynamics. Finally, to understand how these models are practically applied, we decided to study the evolution of the COVID-19 pandemic in the state of Pernambuco in 2020 and 2021 through the SIR model with constant population size and no vital dynamics. To do this, we calculated the Basic Reproduction Value and the maximum number of infected individuals for each case. It is worth noting that an evolutionary algorithm was used to obtain a model that best approximated the real data.
Resumo: Esse trabalho tem como objetivo um estudo de modelos matemáticos epidemiológicos do tipo SIS (Suscetível - Infectado - Suscetível) e SIR (Suscetível - Infectado - Removido com foco na estabilidade dos pontos de equilíbrio dos sistemas de equações diferencias que os descrevem. A análise de estabilidade será apresentada de duas maneiras, utilizando as características dos autovalores e/ou traço da matriz do sistema e usando o Segundo Método de Lyapunov. Também tratamos a estabilidade de variações desses modelos, considerando a população total não constante e a dinâmica vital(nascimentos e mortes) ou dividindo a população dos infectados em indivíduos expostos(infectados que ainda não transmitem a doença) e os indivíduos infecciosos(infectados que transmitem a doença). Definimos o Valor de Reprodutividade Basal e, para alguns modelos, apresentamos formas para a sua obtenção a partir das taxas envolvidas e condições iniciais do sistema. Um cálculo que determina o número máximo de infectados atingido foi realizado para o modelo SIR com população total constante e sem dinâmica vital. Por fim, para compreender como acontece, na prática, a utilização destes modelos, decidimos estudar a evolução da Pandemia do Covid-19 no estado de Pernambuco em 2020 e 2021 por meio do modelo SIR com tamanho de população constante e sem dinâmica vital. Para isso, calculamos o valor de reprodutividade basal e o número máximo de infectados para cada caso. Vale destacar que para obter um modelo que melhor aproximasse os dados reais foi utilizado um algoritmo evolucionário.
URI: https://repository.ufrpe.br/handle/123456789/5513
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