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Título: Um breve estudo sobre a curvatura média e o teorema de Aleksandrov
Autor: Lira, Yasmin Alves Sobrinho
Endereco Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/4862014205090674
Orientador: Gomes, Renato Teixeira
Endereco Lattes do orientador : http://lattes.cnpq.br/0570606157057337
Palavras-chave: Curvatura média;Geometria;Teorema de Aleksandrov
Data do documento: 8-Jun-2022
Citação: LIRA, Yasmin Alves Sobrinho. Um breve estudo sobre a curvatura média e o teorema de Aleksandrov. 2022. 104 f. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Departamento de Matemática, Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2022.
Abstract: When looking for the eigenvalues of the differential of the normal Gauss map dN, naturally arise in its characteristic polynomial two functions that are invariant by change of base of this operator: the determinant of the matrix of the normal Gauss map, called Gaussian curvature and the trace of this application. As this linear map is self-adjoint,there is an orthonormal basis in which its matrix is written diagonally in terms of the principal curvatures, and its determinant and trace are given by det(dN) = (−k1)(−k2) and its dash by tr(dN) = −(k1+k2). The negative half of the H = k1 + k2/2 is the so-called mean curvature, which was introduced by French mathematician Sophie Germain when studying a problem related to membrane vibrations. At this time, a problem proposed by Lagrange, which later received the name of Plateau’s problem, a Belgian physicist who carried out several experiments and in-depth studies on soap films around 1850, was, roughly speaking, to determine a surface that has the smallest area among those which have the edge given by a prescribed Jordan curve. It can be shown that such a surface has zero mean curvature at its regular points. Such surfaces are called minimal and are named after Lagrange. In this work we will make a brief study on mean curvature and minimal surfaces,demonstrating some results and presenting some examples of such surfaces. Furthermore, we will demonstrate Aleksandrov’s theorem which under certain assumptions says that the only compact surface with constant mean curvature in R3 is the sphere. For this, we will demonstrate this result with a different “machinery” the one used by Aleksandrov. We will follow R. Reilly’s approach in his article “Mean Curvature, the Laplacian and Soap Bubbles” which makes use of more basic knowledge of differential and integral calculus and surface theory for its demonstration.
Resumo: Ao se procurar os autovalores da diferencial da aplicação normal de Gauss dN, surgem naturalmente em seu polinômio característico duas funções que são invariantes por mudança de base deste operador: o determinante da matriz da aplicação normal de Gauss, chamado de curvatura Gaussiana e o traço desta aplicação. Como esta aplicação linear é auto adjunta, existe uma base ortonormal em que a matriz desta é escrita em forma diagonal em termos das curvaturas principais, e seu determinante e seu traço são dados por det(dN) = (−k1)(−k2) e por tr(dN) = −(k1+k2) respectivamente. O negativo da metade do traço H = k1 + k2/2 é a chamada curvatura média, cuja terminologia foi introduzida pela matemática francesa Sophie Germain ao estudar um problema relacionado com vibrações de uma membrana. Nesta época, um problema proposto por Lagrange que posteriormente recebeu o nome de problema de Plateau, físico Belga que realizou vários experimentos e estudos aprofundados sobre películas de sabão por volta de 1850, era a grosso modo determinar uma superfície que possua a menor área entre aquelas que têm o bordo dado por uma curva de Jordan prescrita. Pode-se mostrar que tal superfície possui em seus pontos regulares, curvatura média nula. Tais superfícies são chamadas mínimas e tem esse nome devido a Lagrange. Neste trabalho iremos fazer um breve estudo sobre a curvatura média e superfícies mínimas, demonstrando alguns resultados e apresentando alguns exemplos de tais superfícies. Além disso, demonstraremos o teorema de Aleksandrov que sob certas hipóteses diz que a única superfície compacta com curvatura média constante em R3 é a esfera. Para isto, iremos demonstrar este resultado com um “maquinário” diferente do utilizado por Aleksandrov. Seguiremos a abordagem de R. Reilly em seu artigo “Mean Curvature, the Laplacian and Soap Bubbles” que faz uso de conhecimentos mais básicos do cálculo diferencial e integral e da teoria de superfícies para sua demonstração.
URI: https://repository.ufrpe.br/handle/123456789/3147
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